双线性映射的概念与应用

双线性映射是数学中一种重要的函数，它可以将两个向量空间中的元素组合成第三个向量空间中的元素，并且对每个参数都具有线性性质。双线性映射在密码学、代数几何、数论等领域有着广泛的应用，本文将介绍双线性映射的定义、性质、例子和相关问题。

双线性映射的定义

设V, W和X是在同一个基础域F上的三个向量空间。双线性映射是函数B:V×W→X，使得对于任何W中的w，映射v↦B(v,w)是从V到X的线性映射，并且对于任何V中的v，映射w↦B(v,w)是从W到X的线性映射。换句话说，如果保持双线性映射的第一个参数固定，并留下第二个参数可变，结果就是线性算子，如果保持第二个参数固定也是类似的。

双线性映射满足以下性质：

对于任何λ∈F，B(λv,w)=B(v,λw)=λB(v,w)。 双线性映射在每个分量上都是加法运算的分配律，即如果v1,v2∈V和w1,w2∈W，则B(v1+v2,w)=B(v1,w)+B(v2,w)和B(v,w1+w2)=B(v,w1)+B(v,w2)。 如果V=W并且有B(v,w)=B(w,v)对于所有V中的v,w，则我们称B是对称的。 如果X是基础域F，则我们称之为双线性形式，它特别有用（例如：标量积、内积和二次形式）。

如果使用在交换环R上的模替代向量空间，定义不需要任何改变。还可容易地推广到n元函数，这里正确的术语是“多线性”。

双线性映射的例子

矩阵乘法是双线性映射M(m,n)×M(n,p)→M(m,p)。 如果在实数R上的向量空间V承载了内积，则内积是双线性映射V×V→R。 一般地说，对于在域F上的向量空间V，在V上的双线性形式同于双线性映射V×V→F。 如果V是有对偶空间V的向量空间，则应用算子b(f,v)=f(v)是从V×V到基础域的双线性映射。 设V和W是在同一个基础域F上的向量空间。如果f是V的成员而g是W的成员，则b(v,w)=f(v)g(w)定义双线性映射V×W→F。 在R3中，叉积是双线性映射R3×R3→R3。 设B:V×W→X是双线性映射，而L:U→W是线性算子，则(v,u)→B(v,Lu)是在V×U上的双线性映射。 零映射，定义为B(v,w)=0对于所有V×W中的(v,w)，是从V×W到X同时为双线性映射和线性映射的唯一映射。

双线性映射相关问题

给定一个双线性映射e:G×G→Gt，其中G和Gt都是有限循环群，我们可以考虑以下一些问题：

计算问题：给定g1,g2∈G，计算e(g1,g2)。 判定问题：给定g1,g2∈G和gt∈Gt，判断是否有e(g1,g2)=gt。 逆问题：给定g1∈G和gt∈Gt，找到g2∈G使得e(g1,g2)=gt，或者证明不存在这样的g2。

这些问题的难易程度取决于双线性映射的具体形式和参数。一般来说，计算问题是可以高效解决的，而判定问题和逆问题是困难的。这些问题的困难性是密码学中利用双线性映射构造新的方案的基础。

双线性映射的应用

双线性映射在密码学中有着广泛的应用，例如：

基于身份的加密：由Boneh和Franklin于2001年提出的方案，使用双线性映射实现了无需证书的公钥加密。 短签名方案：由Boneh、Lynn和Shacham于2004年提出的方案，使用双线性映射生成了长度仅为160比特的签名。 聚合签名方案：由Boneh、Gentry、Lynn和Shacham于2003年提出的方案，使用双线性映射将多个签名聚合成一个签名。 环签名方案：由Bresson、Stern和Szydlo于2003年提出的方案，使用双线性映射实现了匿名签名。 广播加密方案：由Boneh、Gentry和Waters于2005年提出的方案，使用双线性映射实现了高效的密钥管理。

以上是关于双线性映射的概念与应用的简要介绍，希望对你有所帮助。